Логика и арифметика могут рассматриваться через операции, предшествующие готовым формальным системам. Исходная гипотеза состоит в том, что их общим основанием служит акт различения, а разные пути возникают из последующих операций выбора и повтора.
Устойчивость математических форм
Разделы математики рассматриваются как формальные системы с аксиомами, правилами вывода или преобразования и теоремами. При этом их конструкции воспринимаются как неодинаково устойчивые: геометрические системы допускают разные варианты, тогда как арифметика натуральных чисел кажется почти неизбежной.
Вопрос об этой устойчивости ведёт к условиям образования формальных систем: какие операции должны уже состояться, чтобы появились логические конструкции или счёт?
Первое различение
После различения возникают две стороны и граница между ними. На этом уровне ещё нет языка высказываний, истины и лжи или чисел.
Минимальная последовательность имеет вид:
Неразличённость → различение → дальнейшие операции.
В предлагаемой модели различение предшествует логике и арифметике.
Выбор и повтор
После различения возможны две линии:
- Выбор стороны задаёт ориентацию «это / не это» и ведёт к логическим конструкциям.
- Повтор выбранного ведёт к счёту и арифметике.
Выбор подчёркивает активный характер операции, который может теряться в слове «фиксация». Минимальный операциональный набор этой модели — различение, выбор и повтор.
Логика и арифметика здесь вырастают из разных операций после различения; вопрос об их первичности переносится к общему основанию этих операций.
Повтор выбранного и новое различение
Повтор выбора стабилизирует форму: правила, привычки и устойчивые структуры. Новое различение создаёт новые сущности, новые пары различённого и углубляет структуру.
Арифметика возникает при повторе выбранного. Новое различение не тождественно такому повтору.
Основание счёта
Считать можно внутри выбранной общей рамки. Два яблока и три груши не образуют однородный счёт яблок или груш. Для их сложения необходимо выбрать общее основание — например, «фрукты».
Таким образом, счёт предполагает предварительный выбор того, что считается одним и тем же в отношении выполняемой операции.
Стабилизация и углубление
Различаются два режима:
- Стабилизация и классификация: различение → выбор → повтор. Возникают форма, правила и счёт.
- Углубление и исследование: различение → новое различение → дальнейшая детализация. Возникают новые структуры различий.
В этой модели формы и закреплённые «истины» понимаются как результаты стабилизированных историй выборов.
Открытые вопросы модели
- Что делает возможным первое различение?
- Что делает возможными удержание выбранного и его повтор?
- Есть ли предел углублению различений или детализация принципиально бесконечна?
