Не путать с верификацией: доказательство устанавливает необходимость вывода из оснований, а верификация — прохождение утверждением определённой процедуры проверки.
Исходная конструкция
Доказательство никогда не начинается с нуля.
У доказательства всегда уже есть:
- исходные положения;
- правила вывода;
- язык;
- критерии тождества;
- критерии допустимого перехода;
- представление о противоречии;
- представление о том, что вообще считается доказанным;
- критерий завершённости доказательства.
Даже простейшая форма:
Если A, и если из A следует B, значит B,
уже принимает правила логического вывода.
Сами эти правила нельзя одновременно использовать и доказывать ими же их безусловную истинность, не получая круг. Чтобы доказать правила первой системы, понадобится метасистема. Но метасистема тоже будет иметь собственные правила и основания.
Следовательно, доказательство существует не само по себе.
Существует только:
доказательство внутри некоторой системы оснований;
или:
доказательство при условии принятия определённых аксиом, правил и различений.
Поэтому фраза «это доказано» почти всегда содержит скрытый остаток:
это доказано для того, кто уже принимает данный способ доказательства.
Доказательство и аксиома
Аксиома предваряет доказательство и определяет его возможное пространство. Она задаёт:
- что может появиться как объект;
- что будет считаться различием;
- какие вопросы вообще могут быть поставлены;
- какие ответы смогут считаться допустимыми;
- какие операции разрешены;
- какие выводы будут выглядеть необходимыми;
- какие критерии истинности действуют внутри системы.
Аксиома не просто участвует в доказательстве. Она создаёт пространство, внутри которого доказательство становится возможным.
Поэтому доказательство не выходит из аксиомы к нейтральной истине. Оно разворачивает последствия уже принятой опоры.
Доказательство говорит не:
Вот истина без позиции.
Оно говорит:
Если принять эти основания и эти правила, то этот вывод становится необходимым.
Аксиома не искажает нейтральное доказательное поле. Такого поля до неё нет. Без аксиомы нет доказательного пространства вообще.
Аксиома при этом не создаёт реальность. Она создаёт определённый контур рассуждения внутри реальности. Её обязательность действует в созданной ею конструкции и не распространяется назад на реальность, в которой была установлена сама аксиома.
Аксиома может обусловить систему, но не может обусловить реальность, в которой была создана сама аксиома.
Нейтрального доказательства не существует
Нейтрального доказательства не существует в смысле доказательства, не зависящего ни от каких предварительно принятых оснований.
Если убрать исходные положения, правила вывода, язык, критерии тождества, противоречия, допустимого перехода и завершённости, не появится нейтральное доказательство. Исчезнет доказательство.
Поэтому нейтральное доказательство является не редким или недостижимым видом доказательства, а внутренне противоречивым словосочетанием:
Доказательство без предварительных оснований является доказательством без условий, делающих доказательство возможным.
Всякое доказательство уже находится на стороне своих аксиом и правил вывода. Оно не проходит через аксиомы к нейтральной реальности. Оно разворачивает то, что становится необходимым после принятия конкретной системы различений.
Доказательство не устраняет аксиому. Оно делает последствия аксиомы обязательными внутри созданного ею пространства.
Регресс обоснования
Чтобы доказать некоторое положение, необходим критерий доказательства. Но попытка доказать безусловную истинность самого критерия требует другого критерия. Для доказательства второго понадобится третий.
Возникают три возможных исхода:
- бесконечный регресс критериев;
- круг, в котором система обосновывает собственные правила этими же правилами;
- остановка на основании, которое принимается без доказательства внутри данной конструкции.
Переход к метасистеме не устраняет проблему оснований. Он переносит её на следующий уровень, поскольку метасистема также имеет собственные правила и исходные положения.
Из этого не следует, что доказательство бесполезно или произвольно. Следует только, что его необходимость относительна к условиям, делающим доказательство возможным, и не должна выдаваться за беспредпосылочность.
Доказательство через несовместимость условий объекта
В рассуждении о нейтральности присутствует отдельная форма доказательства: доказательство через несовместимость условий существования самого объекта.
Его структура такова:
- Нейтральность определяется как суждение без предварительной позиции.
- Любое суждение необходимо содержит предварительное различение.
- Предварительное различение уже является позицией.
- Следовательно, суждение без позиции невозможно.
- Следовательно, нейтральность как суждение не существует.
Это не переход от отсутствия свидетельств к отрицанию существования. Утверждается не «нейтральность не найдена», а «условия, при которых она должна была бы существовать, уничтожают саму возможность суждения».
Здесь важно различать:
Мы не смогли доказать существование объекта, следовательно, его нет.
и:
Условия существования предполагаемого объекта взаимно несовместимы, следовательно, такой объект невозможен в пределах данных определений.
Второе является доказательством невозможности, однако и оно зависит от принятых определений, правил вывода и критерия противоречия.
Центральные формулы
Всякое доказательство является выводом внутри системы аксиом, правил, языка и критериев доказанности. Оно может быть необходимым относительно системы, но не беспредпосылочным.
Устранение оснований не очищает доказательство от позиции, а уничтожает доказательство как таковое.
Доказательство не создаёт безусловную истину. Оно устанавливает обязательность перехода от принятых оснований к выводу внутри определённого доказательного пространства.
Каких разборов ещё нет
Ниже перечислены вопросы, которые нынешняя конструкция затрагивает, но пока не разбирает. Это не готовые положения, а программа дальнейшего исследования.
1. Определение доказательства
Пока перечислены условия доказательства, но не установлено, что именно превращает последовательность высказываний в доказательство. Требуется отличить доказательство от:
- вывода;
- аргумента;
- объяснения;
- демонстрации;
- свидетельства;
- подтверждения;
- убеждения и риторического воздействия.
2. Носитель доказанности
Не выяснено, чему принадлежит свойство «быть доказанным»:
- самому тезису;
- цепочке переходов;
- отношению тезиса к системе;
- отношению доказательства к сознанию, способному его проверить;
- практике сообщества, признающего определённые правила.
Без этого выражение «тезис доказан» остаётся онтологически неразобранным.
3. Доказательство и сознание
Не исследовано, существует ли доказательство без сознания, которое различает посылки, переходы и вывод. Возможны по меньшей мере три версии:
- доказательство существует как объективная структура отношений;
- доказательство возникает только в акте понимания;
- структура существует независимо, но доказательством становится лишь для сознания внутри соответствующей системы различений.
4. Принятие оснований
Фраза «если принять основания» пока не разобрана. Неясно:
- кто или что их принимает;
- является ли принятие психологическим согласием, практическим действием или логической фиксацией;
- может ли вывод быть обязательным для того, кто не признаёт исходную систему;
- отличается ли использование основания от веры в его истинность.
5. Истина, необходимость и доказанность
Пока не разделены три свойства:
- тезис истинен;
- тезис необходим внутри системы;
- тезис доказан средствами системы.
Нужно установить, может ли истинное быть недоказуемым, доказанное — неистинным вне системы, а необходимое — зависеть от способа формализации.
6. Формальное и эмпирическое доказательство
Текущая конструкция в основном описывает формальный вывод. Не разобраны:
- математическое доказательство;
- эмпирическое подтверждение;
- причинное объяснение;
- историческое установление события;
- судебное доказывание;
- доказательство в повседневном рассуждении.
Нужно проверить, являются ли они видами одного явления или словом «доказательство» здесь обозначаются разные операции.
7. Полнота и завершённость
Упомянут критерий завершённости, но не выяснено, почему доказательство считается законченным. Требуется разобрать:
- где заканчивается достаточная цепочка оснований;
- что позволяет не доказывать каждый промежуточный переход;
- как на завершённость влияют неявные знания и очевидность;
- является ли завершённость свойством текста, системы или акта проверки.
8. Ошибка и ложное доказательство
Если доказательство всегда существует внутри системы, ещё нужно определить, что считается ошибкой внутри неё. Следует различить:
- неверный переход по принятым правилам;
- скрытую или подменённую посылку;
- противоречивую систему оснований;
- корректный вывод из ложных посылок;
- смену значения терминов по ходу рассуждения;
- доказательство, корректное в одной системе и недействительное в другой.
9. Перевод между системами
Не разобрано, как сравнивать доказательства, построенные на разных аксиомах и правилах. Нужны критерии:
- переводимости понятий;
- сохранения вывода при переводе;
- совместимости и несовместимости систем;
- выбора метасистемы для сравнения;
- обнаружения того, что спор о выводе на самом деле является спором об основаниях.
10. Сила доказательства
Неясно, все ли доказательства имеют одинаковый статус. Требуется исследовать, от чего зависит их сила:
- от минимальности предпосылок;
- от прозрачности правил;
- от воспроизводимости проверки;
- от устойчивости при смене формулировок;
- от широты систем, в которых сохраняется вывод;
- от способности выявлять собственные границы применимости.
11. Доказательство и реальность
Сказано, что аксиома создаёт доказательное пространство, но не реальность. Пока не разобрано, каким образом доказательство может говорить о реальности, если его обязательность создаётся внутри системы. Здесь требуется избежать двух крайностей:
- отождествления системной необходимости с устройством реальности;
- вывода, будто зависимость от оснований делает всякое доказательство произвольным и ничего не говорящим о реальности.
12. Самоприменение тезиса о доказательстве
Нужно проверить саму центральную конструкцию:
«Всякое доказательство зависит от оснований».
Если она предлагается как доказанная, следует явно назвать её основания и правила вывода. Если она имеет другой статус, нужно определить какой: описание, принцип, результат самонаблюдения мышления или онтологический вывод. Без такого разбора теория доказательства рискует скрыть собственную систему оснований именно там, где требует их обнаружения от других доказательств.
