Блок 0. Карта местности

Срок: 2–3 дня.

До вычислений нужно получить общую конструкцию.

Разобрать:

• что такое поле в классической физике;
• почему квантовая механика одной частицы недостаточна для релятивистской физики;
• почему появляется переменное число частиц;
• что означает «квантовать поле»;
• чем отличаются:
• поле,
• состояние поля,
• возбуждение поля,
• частица,
• оператор,
• наблюдаемая величина;
• почему QFT не следует начинать с картинки «всё состоит из частиц».

Главный вопрос блока:

Что является первичным объектом самой теории, а что появляется только в определённом представлении?

На выходе ты должен уметь своими словами объяснить:

\[
\text{классическое поле}
\rightarrow
\text{квантовое поле}
\rightarrow
\text{состояния}
\rightarrow
\text{частичная интерпретация состояний}.
\]

---

Часть I. Математический фундамент

Блок 1. Специальная теория относительности

1–2 недели.

Нужно не просто помнить \(E=mc^2\), а свободно работать с геометрией пространства-времени.

Темы:

• события;
• пространство Минковского;
• метрика;
• интервалы;
• собственное время;
• 4-векторы;
• 4-импульс;
• преобразования Лоренца;
• группа Лоренца;
• ковариантность;
• контравариантные и ковариантные компоненты;
• тензоры;
• индексная запись;
• соглашение Эйнштейна.

Обязательно вывести:

\[
p^\mu p_\mu = m^2
\]

в единицах \(c=1\).

И понять происхождение:

\[
E^2=\mathbf p^2+m^2.
\]

Контрольный вопрос

Почему соотношение

\[
E^2-\mathbf p^2=m^2
\]

не является произвольным дополнительным правилом для частицы, а связано с представлением группы Пуанкаре?

Пока второй уровень можно не доказывать, но вопрос нужно сохранить.

---

Блок 2. Лагранжева и гамильтонова механика

1–2 недели.

Это критически важно. QFT практически целиком говорит на лагранжевом языке.

Темы:

• действие;
• принцип стационарного действия;
• лагранжиан;
• координаты и скорости;
• уравнения Эйлера–Лагранжа;
• канонический импульс;
• гамильтониан;
• фазовое пространство;
• симметрия;
• теорема Нётер.

Вывести самостоятельно:

\[
S[q]=\int dt\,L(q,\dot q)
\]

и

\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}
—
\frac{\partial L}{\partial q}=0.
\]

Самое важное здесь:

понять, что «уравнение движения» получается из структуры действия, а не просто принимается отдельно.

---

Часть II. От частиц к полям

Блок 3. Классическая теория поля

2 недели.

Вот здесь впервые появляется настоящая архитектура QFT.

Вместо:

\[
q(t)
\]

берётся:

\[
\phi(x,t).
\]

То есть степеней свободы уже бесконечно много.

Изучить:

• поле как систему бесконечного числа степеней свободы;
• плотность лагранжиана;
• действие поля;
• полевые уравнения Эйлера–Лагранжа;
• скалярное поле;
• комплексное поле;
• электромагнитное поле.

Формула:

\[
S[\phi]=\int d^4x\,\mathcal L.
\]

И:

\[
\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}
—
\partial_\mu
\frac{\partial\mathcal L}
{\partial(\partial_\mu\phi)}
=0.
\]

Первая фундаментальная модель

Свободное скалярное поле:

\[
\mathcal L=
\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi
-\frac12m^2\phi^2.
\]

Из него вывести уравнение Клейна–Гордона:

\[
(\Box+m^2)\phi=0.
\]

Здесь остановиться и разобрать:

почему это первоначально уравнение поля, а не “уравнение одной релятивистской частицы”.

Это чрезвычайно полезное различение.

---

Часть III. Квантовая механика, но уже на нужной глубине

Блок 4. Пересборка квантовой механики

2–3 недели.

Если QM уже знакома, всё равно пройти заново, но через структуру.

Темы:

• гильбертово пространство;
• векторы состояния;
• лучи;
• операторы;
• собственные состояния;
• спектральное разложение;
• коммутаторы;
• канонические переменные;
• представление Шрёдингера;
• представление Гейзенберга;
• взаимодействующее представление;
• гармонический осциллятор;
• операторы рождения и уничтожения.

Особенно хорошо разобрать:

\[
[a,a^\dagger]=1
\]

и

\[
H=\omega\left(a^\dagger a+\frac12\right).
\]

Почему?

Потому что свободное квантовое поле фактически раскладывается на бесконечный набор квантовых гармонических осцилляторов.

Вот здесь начинается настоящий переход.

---

Часть IV. Рождение частиц из квантованного поля

Блок 5. Квантование свободного скалярного поля

2–3 недели.

Это первый центральный блок всей программы.

Поле раскладывается:

\[
\phi(x)
=
\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\frac1{\sqrt{2E_{\mathbf p}}}
\left(
a_{\mathbf p}e^{-ipx}
+
a^\dagger_{\mathbf p}e^{ipx}
\right).
\]

Разобрать буквально каждый элемент.

Что такое:

• \(a_{\mathbf p}\);
• \(a^\dagger_{\mathbf p}\);
• вакуум;
• одночастичное состояние;
• многочастичное состояние;
• пространство Фока.

Например:

\[
|p\rangle=a^\dagger_p|0\rangle.
\]

И вот здесь возникает очень важный результат:

частица появляется не как первоначальный объект теории, а как определённый тип состояния квантового поля.

Это должно быть не лозунгом, а результатом расчёта.

---

Часть V. Что на самом деле означает «частица»

Блок 6. Частицы, состояния и представления группы Пуанкаре

1–2 недели.

Это редко достаточно хорошо объясняют в начальных курсах, но тебе это будет особенно интересно.

Изучить идею Вигнера:

частица может быть определена через неприводимое представление группы Пуанкаре.

Отсюда возникают:

• масса;
• спин;
• импульс;
• геликитет.

Иными словами:

масса и спин оказываются не просто наклеенными свойствами маленького шарика.

Они характеризуют, как состояния преобразуются относительно симметрий пространства-времени.

Вот здесь понятие частицы становится значительно менее наивным.

---

Часть VI. Корреляции и пропагаторы

Блок 7. Корреляционные функции

2 недели.

Теперь перейти от «что представляет поле» к:

что теория фактически рассчитывает?

Изучить:

\[
\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle.
\]

Разобрать:

• двухточечные функции;
• \(n\)-точечные функции;
• временное упорядочивание;
• причинные структуры;
• коммутатор полей;
• микрокаузальность.

Особое внимание:

\[
[\phi(x),\phi(y)]=0
\]

для пространственно-подобно разделённых точек.

Здесь уже можно очень предметно обсуждать, что означает причинность непосредственно внутри QFT, а не переносить туда классическую бытовую причинность.

---

Блок 8. Пропагатор

1–2 недели.

Разобрать:

\[
D_F(x-y)
=
\langle0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle.
\]

А затем его импульсное представление:

\[
\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}.
\]

Именно здесь рождается математическая основа того, что затем рисуется как внутренняя линия диаграммы Фейнмана.

Нужно жёстко различать:

\[
\text{пропагатор}
\neq
\text{маленькая частица, буквально летящая между точками}.
\]

---

Часть VII. Взаимодействующие поля

Блок 9. Теория \(\phi^4\)

2–3 недели.

Первую взаимодействующую теорию удобно строить как:

\[
\mathcal L
=
\frac12(\partial\phi)^2
-\frac12m^2\phi^2
-\frac{\lambda}{4!}\phi^4.
\]

Разобрать:

• свободную часть;
• взаимодействие;
• coupling constant;
• interaction picture;
• оператор эволюции;
• Dyson series.

Получить:

\[
S
=
T\exp
\left[
-i\int d^4x\,\mathcal H_I
\right].
\]

И разложение:

\[
S=1+
(-i)\int H_I+
\frac{(-i)^2}{2!}\int H_IH_I+\ldots
\]

И вот только теперь вводить диаграммы Фейнмана.

Тогда будет видно их происхождение.

Не:

«физики придумали картинки столкновения частиц».

А:

\[
\text{ряд Дайсона}
\rightarrow
\text{комбинаторика сокращений}
\rightarrow
\text{теорема Вика}
\rightarrow
\text{диаграммы Фейнмана}.
\]

---

Часть VIII. Диаграммы Фейнмана

Блок 10. Что диаграмма обозначает и чего она не обозначает

2 недели.

Изучить:

• вершины;
• внешние линии;
• внутренние линии;
• правила Фейнмана;
• tree diagrams;
• loop diagrams;
• порядок по константе связи;
• симметрийные коэффициенты.

Практически вычислить:

\[
2\to2
\]

рассеяние в \(\phi^4\).

Главное концептуальное различение:

Внешняя линия

Связана с асимптотическим физическим состоянием.

Внутренняя линия

Связана с пропагатором в члене разложения.

И именно внутреннюю линию принято называть:

виртуальной частицей.

После этого вопрос «существует ли виртуальная частица?» уже становится хорошо поставленным, потому что ты знаешь генезис самого понятия.

---

Часть IX. Path integral

Блок 11. Интеграл по траекториям

3 недели.

Нельзя останавливаться на каноническом квантовании.

Изучить альтернативный путь:

\[
Z=
\int\mathcal D\phi\,
e^{iS[\phi]}.
\]

Разобрать:

• откуда появляется path integral;
• generating functional;
• источники \(J(x)\);
• функциональные производные;
• получение корреляционных функций;
• гауссовы интегралы;
• диаграммы Фейнмана из generating functional.

Центральная формула:

\[
Z[J]
=
\int\mathcal D\phi\,
e^{iS[\phi]+i\int J\phi}.
\]

Это особенно полезно концептуально:

те же диаграммы возникают из совершенно другой математической организации теории.

Поэтому их уже гораздо труднее воспринимать как буквальную микроскопическую кинематографию мира.

---

Часть X. Фермионы

Блок 12. Уравнение Дирака

2–3 недели.

Изучить:

\[
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0.
\]

Темы:

• спиноры;
• гамма-матрицы;
• Clifford algebra;
• спин \(1/2\);
• частицы и античастицы;
• фермионные операторы;
• антикоммутаторы.

Почему:

\[
\{a_p,a_q^\dagger\}
\]

вместо бозонного коммутатора?

И как возникает принцип Паули.

---

Часть XI. Калибровочные поля

Блок 13. Электромагнетизм как gauge theory

3 недели.

Это второй центральный концептуальный блок после квантования скалярного поля.

Начать с комплексного поля:

\[
\psi(x).
\]

Глобальная симметрия:

\[
\psi\rightarrow e^{i\alpha}\psi.
\]

Потом сделать \(\alpha\) локальной:

\[
\alpha\rightarrow\alpha(x).
\]

И увидеть, почему обычная производная перестаёт преобразовываться правильно.

Ввести:

\[
D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu.
\]

И получить gauge field.

Здесь важно не принять популярную фразу:

«мы потребовали локальную симметрию, и природа была вынуждена создать электромагнитное поле»

за буквальное объяснение существования электромагнетизма.

Нужно различить:

• математическую конструкцию;
• симметрийное условие;
• эмпирическое соответствие;
• онтологическую интерпретацию.

---

Часть XII. QED

Блок 14. Квантовая электродинамика

3–4 недели.

Лагранжиан:

\[
\mathcal L_{\rm QED}
=
-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+
\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi.
\]

Из него получить:

• электронный пропагатор;
• фотонный пропагатор;
• vertex;
• правила Фейнмана QED.

Посчитать хотя бы один процесс:

\[
e^-e^-\rightarrow e^-e^-
\]

или

\[
e^-e^+\rightarrow\mu^-\mu^+.
\]

И уже здесь вернуться к утверждению:

«электроны обмениваются виртуальными фотонами».

Теперь можно точно сказать, какой математический факт скрывается под этой фразой и что добавляет сама интерпретация.

---

Часть XIII. Петли и перенормировка

Блок 15. Loop corrections

3 недели.

Теперь станет видно, почему теория становится технически тяжёлой.

Изучить:

• loop integrals;
• UV divergence;
• regularization;
• cutoff;
• dimensional regularization;
• bare parameters;
• counterterms;
• renormalized parameters.

Например:

\[
m_0,\lambda_0
\]

против

\[
m_R,\lambda_R.
\]

Главный вопрос:

Что именно означает «бесконечность» в вычислении и почему это не означает автоматически, что физическая реальность содержит бесконечную энергию?

---

Блок 16. Renormalization group

2 недели.

Один из важнейших блоков для понимания современной физики вообще.

Изучить:

• scale dependence;
• running coupling;
• beta function;
• fixed points;
• relevant operators;
• irrelevant operators;
• universality.

Формула:

\[
\beta(g)
=
\mu\frac{dg}{d\mu}.
\]

И здесь возникает чрезвычайно важная идея:

описание физической системы зависит от масштаба.

Это уже напрямую выводит к effective field theory.

---

Часть XIV. Effective Field Theory

Блок 17. Эффективные теории поля

2–3 недели.

Это я бы считал обязательным.

Изучить:

\[
\mathcal L_{\rm EFT}
=
\mathcal L_{\rm low}
+
\frac{c_5}{\Lambda}O_5
+
\frac{c_6}{\Lambda^2}O_6+\ldots
\]

Идея:

теория не обязана быть окончательной теорией всего.

Она может быть корректным описанием на некотором диапазоне масштабов.

Здесь особенно интересно твое направление мысли:

модель может быть локальной относительно диапазона, задачи и различения, не превращаясь поэтому в саму реальность.

В EFT это уже почти встроено в саму математическую практику физики.

---

Часть XV. Спонтанное нарушение симметрии

Блок 18. Vacuum и symmetry breaking

2–3 недели.

Темы:

• потенциал;
• вакуум;
• вырожденные вакуумы;
• Goldstone theorem;
• spontaneous symmetry breaking.

Простейший пример:

\[
V(\phi)
=
-\frac12\mu^2\phi^2
+
\frac{\lambda}{4}\phi^4.
\]

Разобрать крайне аккуратно слово «вакуум».

Вакуум QFT:

\[
|0\rangle
\]

не означает философское «ничто».

Это определённое состояние теории.

---

Часть XVI. Higgs mechanism

Блок 19. Механизм Хиггса

2 недели.

Только после предыдущего блока.

Изучить:

• local gauge symmetry;
• vacuum expectation value;
• gauge boson masses;
• Higgs excitation.

Главная задача здесь: перестать пользоваться карикатурой:

«частицы движутся через поле Хиггса как через патоку».

И увидеть настоящую математическую конструкцию.

---

Часть XVII. Невозмущательная сторона QFT

Блок 20. Где диаграммы Фейнмана перестают быть всей теорией

2 недели вводно.

Очень важный блок именно потому, что популярное изложение создаёт впечатление:

\[
QFT = \text{Feynman diagrams}.
\]

Нет.

Разобрать:

• perturbative expansion;
• strong coupling;
• lattice field theory;
• instantons;
• confinement;
• nonperturbative effects.

Особенно QCD:

на больших энергиях:

\[
\alpha_s\ll1
\]

и perturbation theory работает хорошо.

На низких энергиях ситуация меняется радикально.

---

Часть XVIII. Концептуальный слой

Вот этот блок я бы вёл параллельно всему курсу, а не в конце.

Вести отдельный QFT Genesis Notebook

Для каждого нового понятия фиксировать пять вещей.

1. Что непосредственно введено?

Например:

\[
\phi(x)
\]

как операторнозначное поле.

2. Из чего оно возникает?

Например:

внутренняя линия диаграммы возникает из пропагатора внутри perturbative expansion.

3. Что реально измеряется?

Например:

cross section:

\[
\sigma.
\]

4. Какой объект вычислительного аппарата используется?

Например:

\[
\mathcal M.
\]

5. Какой дополнительный онтологический рассказ обычно накладывается?

Например:

«между частицами пролетел виртуальный фотон».

Это позволит постоянно держать отдельно:

\[
\boxed{
\text{формализм}
\neq
\text{наблюдение}
\neq
\text{интерпретация}
}
\]

Но не в смысле, что интерпретация запрещена. Наоборот: она становится видимой как отдельный смысловой шаг, который можно исследовать.

---

Книги

Я бы не выбирал одну книгу.

Первый основной учебник

Matthew Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model.

Очень хороший баланс:

• формализм;
• происхождение вычислений;
• современный язык;
• много объяснений.

Второй взгляд

Mark Srednicki, Quantum Field Theory.

Более сухой, зато полезен для проверки, что ты понял конструкцию независимо от одного автора.

Классический reference

Peskin & Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory.

Очень важная книга, но я бы не делал её первым входом. Она быстро становится вычислительной.

Для глубокой структуры

Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields.

Это уже не «учебник для первого знакомства».

Зато Weinberg чрезвычайно интересен потому, что начинает от:

• квантовой механики;
• Лоренц-инвариантности;
• S-matrix;
• представлений симметрий.

Он позволяет увидеть QFT не как:

«берём классическое поле и квантуем».

А с другого направления.

Бесплатный курс

David Tong, Quantum Field Theory.

Очень хорош как параллельный источник.

---

Как решать задачи

Я бы ввёл правило:

на каждый час чтения минимум час вычислений.

Потому что QFT обладает неприятным свойством: текст можно читать и чувствовать, что всё понятно, пока не попытаешься вывести:

\[
\langle0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle.
\]

И внезапно половина конструкции исчезает 😄

---

Минимальный набор вычислений, которые нужно сделать руками

К концу курса ты должен самостоятельно вывести хотя бы:

1. уравнение Клейна–Гордона из действия;
2. гамильтониан свободного скалярного поля;
3. разложение поля через \(a\) и \(a^\dagger\);
4. коммутационные соотношения;
5. пропагатор свободного скалярного поля;
6. теорему Вика хотя бы для простых случаев;
7. правила Фейнмана для \(\phi^4\);
8. tree-level \(2\to2\) scattering;
9. generating functional свободного поля;
10. уравнение Дирака;
11. фермионный пропагатор;
12. QED vertex;
13. одну QED scattering amplitude;
14. один loop integral;
15. один пример regularization;
16. running coupling на простом примере.

---

Что ты должен понимать после программы

Не только:

«я умею читать диаграммы Фейнмана».

А намного больше.

Ты должен уметь взять утверждение вроде:

«виртуальные частицы постоянно возникают из вакуума»

и разложить его:

\[
\text{какой формализм?}
\rightarrow
\text{какой объект?}
\rightarrow
\text{какое наблюдение?}
\rightarrow
\text{какой переход к интерпретации?}
\]

И отдельно спрашивать:

На каком именно этапе математическая структура получила онтологическое значение?

Для QFT это фантастически плодотворный вопрос. Там таких переходов огромное количество:

• поле;
• частица;
• вакуум;
• виртуальная частица;
• флуктуация;
• взаимодействие;
• причинность;
• симметрия;
• «сила»;
• «обмен частицей»;
• even «законы природы».

И если пройти курс именно таким способом, ты получишь не просто знание QFT. Ты сможешь читать саму физическую теорию по слоям, не смешивая её математическую архитектуру с рассказом о том, что якобы буквально происходит в мире.